불리언 대수

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불리언 대수(Boolean Algebra)는 논리학 및 컴퓨터 과학에서 사용되는 대수 시스템으로, 주어진 변수들이 참(True) 또는 거짓(False)이라는 두 가지 값만 가질 수 있는 시스템을 다룹니다. 이 대수는 조지 불(George Boole)에 의해 19세기에 개발되었으며, 디지털 회로 설계, 프로그래밍 논리, 데이터베이스 질의 등 다양한 분야에서 사용됩니다.

불리언 대수의 기본 연산:
불리언 대수는 세 가지 기본 연산으로 구성됩니다.

AND (곱):

두 변수 
𝐴
A와 
𝐵
B가 모두 참일 때만 결과가 참입니다.
표기법: 
𝐴
⋅
𝐵
A⋅B 또는 
𝐴
∧
𝐵
A∧B
진리표:
𝐴
A = 1, 
𝐵
B = 1: 
𝐴
⋅
𝐵
=
1
A⋅B=1
𝐴
A = 1, 
𝐵
B = 0: 
𝐴
⋅
𝐵
=
0
A⋅B=0
𝐴
A = 0, 
𝐵
B = 1: 
𝐴
⋅
𝐵
=
0
A⋅B=0
𝐴
A = 0, 
𝐵
B = 0: 
𝐴
⋅
𝐵
=
0
A⋅B=0
OR (합):

두 변수 중 하나라도 참이면 결과가 참입니다.
표기법: 
𝐴
+
𝐵
A+B 또는 
𝐴
∨
𝐵
A∨B
진리표:
𝐴
A = 1, 
𝐵
B = 1: 
𝐴
+
𝐵
=
1
A+B=1
𝐴
A = 1, 
𝐵
B = 0: 
𝐴
+
𝐵
=
1
A+B=1
𝐴
A = 0, 
𝐵
B = 1: 
𝐴
+
𝐵
=
1
A+B=1
𝐴
A = 0, 
𝐵
B = 0: 
𝐴
+
𝐵
=
0
A+B=0
NOT (부정):

단일 변수의 값을 반전시킵니다. 참은 거짓으로, 거짓은 참으로 바뀝니다.
표기법: 
𝐴
‾
A
  또는 
¬
𝐴
¬A
진리표:
𝐴
A = 1: 
𝐴
‾
=
0
A
 =0
𝐴
A = 0: 
𝐴
‾
=
1
A
 =1
불리언 대수의 기본 법칙:
항등법칙 (Identity Law):

𝐴
⋅
1
=
𝐴
A⋅1=A, 
𝐴
+
0
=
𝐴
A+0=A
영법칙 (Null Law):

𝐴
⋅
0
=
0
A⋅0=0, 
𝐴
+
1
=
1
A+1=1
보수법칙 (Complement Law):

𝐴
⋅
𝐴
‾
=
0
A⋅ 
A
 =0, 
𝐴
+
𝐴
‾
=
1
A+ 
A
 =1
분배법칙 (Distributive Law):

𝐴
⋅
(
𝐵
+
𝐶
)
=
(
𝐴
⋅
𝐵
)
+
(
𝐴
⋅
𝐶
)
A⋅(B+C)=(A⋅B)+(A⋅C)
𝐴
+
(
𝐵
⋅
𝐶
)
=
(
𝐴
+
𝐵
)
⋅
(
𝐴
+
𝐶
)
A+(B⋅C)=(A+B)⋅(A+C)
드 모르간 법칙 (De Morgan's Law):

𝐴
⋅
𝐵
‾
=
𝐴
‾
+
𝐵
‾
A⋅B
 = 
A
 + 
B
 
𝐴
+
𝐵
‾
=
𝐴
‾
⋅
𝐵
‾
A+B
​
 = 
A
 ⋅ 
B
 
불리언 대수는 논리 게이트, 회로 설계 및 다양한 논리적 문제를 다루는 데 중요한 역할을 합니다. 이 시스템을 통해 복잡한 논리식을 간단하게 표현하고 해결할 수 있습니다.